Menaklukkan Matematika Kelas 2 SMA Semester 2: Panduan Lengkap dengan Contoh Soal
Memasuki semester kedua di kelas 11 SMA (atau kelas 2 SMA), siswa dihadapkan pada materi matematika yang semakin menantang dan membutuhkan pemahaman konsep yang lebih mendalam. Semester ini biasanya mengasah kemampuan analisis, penalaran logis, dan aplikasi matematis dalam berbagai situasi. Topik-topik seperti trigonometri lanjutan, barisan dan deret, program linear, serta statistika dan peluang menjadi fokus utama.
Artikel ini hadir untuk membantu Anda menguasai materi-materi tersebut. Kami akan mengupas tuntas setiap topik dengan penjelasan singkat, dilanjutkan dengan contoh soal yang representatif beserta pembahasan langkah demi langkah. Tujuannya adalah agar Anda tidak hanya menghafal rumus, tetapi benar-benar memahami bagaimana cara mengaplikasikannya untuk menyelesaikan berbagai permasalahan.
Mari kita mulai petualangan kita dalam menaklukkan matematika kelas 2 SMA semester 2!
>
1. Trigonometri Lanjutan: Menggali Lebih Dalam Sudut dan Fungsi
Trigonometri di semester ini biasanya melampaui identitas dasar yang dipelajari di semester sebelumnya. Kita akan mendalami identitas-identitas trigonometri lanjutan, aturan sinus dan kosinus, serta penerapannya dalam menghitung luas segitiga dan menyelesaikan masalah geometri.
Topik Kunci:
- Identitas Trigonometri (Sudut Ganda, Setengah Sudut, Penjumlahan dan Pengurangan Dua Sudut)
- Aturan Sinus dan Aturan Kosinus
- Luas Segitiga dengan Trigonometri
- Aplikasi dalam Segitiga Sembarang
Contoh Soal 1 (Identitas Trigonometri):
Jika diketahui $cos(2x) = frac13$, tentukan nilai dari $sin^2(x)$.
Pembahasan:
Kita tahu identitas trigonometri untuk sudut ganda $cos(2x)$ yang melibatkan $sin^2(x)$ adalah:
$cos(2x) = 1 – 2sin^2(x)$
Diketahui $cos(2x) = frac13$, kita substitusikan ke dalam rumus:
$frac13 = 1 – 2sin^2(x)$
Sekarang, kita isolasi $sin^2(x)$:
$2sin^2(x) = 1 – frac13$
$2sin^2(x) = frac33 – frac13$
$2sin^2(x) = frac23$
Bagi kedua sisi dengan 2:
$sin^2(x) = frac23 div 2$
$sin^2(x) = frac23 times frac12$
$sin^2(x) = frac13$
Jadi, nilai dari $sin^2(x)$ adalah $frac13$.
Contoh Soal 2 (Aturan Sinus dan Kosinus):
Pada segitiga ABC, diketahui panjang sisi $a = 7$ cm, $b = 5$ cm, dan sudut $gamma = 60^circ$. Tentukan panjang sisi $c$.
Pembahasan:
Karena kita memiliki dua sisi dan sudut yang diapitnya, kita dapat menggunakan Aturan Kosinus. Aturan Kosinus menyatakan:
$c^2 = a^2 + b^2 – 2ab cos(gamma)$
Substitusikan nilai yang diketahui:
$c^2 = 7^2 + 5^2 – 2(7)(5) cos(60^circ)$
$c^2 = 49 + 25 – 70 times frac12$
$c^2 = 74 – 35$
$c^2 = 39$
Untuk mendapatkan panjang sisi $c$, kita akarkan hasilnya:
$c = sqrt39$ cm
Jadi, panjang sisi $c$ adalah $sqrt39$ cm.
>
2. Barisan dan Deret: Menemukan Pola Bilangan
Materi barisan dan deret menjadi salah satu topik yang paling sering muncul dalam berbagai tes dan ujian. Di kelas 2 SMA, fokusnya bisa lebih ke arah deret aritmetika dan geometri tak hingga, serta aplikasi dalam konteks masalah.
Topik Kunci:
- Barisan dan Deret Aritmetika (Suku ke-n, Jumlah n suku pertama)
- Barisan dan Deret Geometri (Suku ke-n, Jumlah n suku pertama)
- Deret Geometri Tak Hingga (Konvergensi dan Jumlahnya)
- Aplikasi Barisan dan Deret
Contoh Soal 3 (Deret Aritmetika):
Seorang karyawan mendapat gaji awal Rp 3.000.000 per bulan. Setiap bulan gaji karyawan tersebut dinaikkan sebesar Rp 100.000. Berapakah total gaji yang diterima karyawan tersebut selama satu tahun pertama bekerja?
Pembahasan:
Ini adalah masalah deret aritmetika.
Suku pertama ($a_1$) adalah gaji bulan pertama = Rp 3.000.000.
Beda ($d$) adalah kenaikan gaji per bulan = Rp 100.000.
Jumlah suku ($n$) adalah total bulan dalam satu tahun = 12 bulan.
Kita perlu mencari jumlah 12 suku pertama ($S_12$). Rumus jumlah $n$ suku pertama deret aritmetika adalah:
$S_n = fracn2 $
Substitusikan nilai yang diketahui:
$S12 = frac122 $
$S12 = 6 $
$S12 = 6 $
$S12 = 6 $
$S_12 = 42.600.000$
Jadi, total gaji yang diterima karyawan tersebut selama satu tahun pertama bekerja adalah Rp 42.600.000.
Contoh Soal 4 (Deret Geometri Tak Hingga):
Sebuah bola dipantulkan dari ketinggian 16 meter. Setiap kali memantul, ketinggiannya menjadi $frac34$ dari ketinggian sebelumnya. Hitunglah panjang lintasan bola sampai berhenti.
Pembahasan:
Ini adalah masalah deret geometri tak hingga. Ketinggian pantulan membentuk deret geometri.
Ketinggian awal = 16 meter.
Rasio ketinggian pantulan ($r$) = $frac34$.
Panjang lintasan bola adalah jumlah dari ketinggian awal ditambah dengan jumlah semua ketinggian pantulan naik dan turun.
Lintasan = Ketinggian Awal + (Jumlah pantulan naik + Jumlah pantulan turun)
Jumlah pantulan naik dan turun adalah deret geometri tak hingga dengan suku pertama $a = 16 times frac34 = 12$ meter, dan rasio $r = frac34$.
Jumlah deret geometri tak hingga adalah $S_infty = fraca1-r$, asalkan $|r| < 1$. Dalam kasus ini, $r = frac34 < 1$, jadi deretnya konvergen.
Jumlah pantulan naik = $frac121 – frac34 = frac12frac14 = 12 times 4 = 48$ meter.
Jumlah pantulan turun juga sama, yaitu 48 meter.
Jadi, total panjang lintasan adalah:
Panjang Lintasan = 16 (ketinggian awal) + 48 (pantulan naik) + 48 (pantulan turun)
Panjang Lintasan = 16 + 96
Panjang Lintasan = 112 meter.
>
3. Program Linear: Mengoptimalkan Nilai dalam Kendala
Program linear sangat relevan dalam kehidupan nyata, terutama dalam pengambilan keputusan yang melibatkan sumber daya terbatas. Di SMA, kita belajar bagaimana merumuskan masalah menjadi model matematika dan mencari solusi optimalnya.
Topik Kunci:
- Menyusun Model Matematika dari Soal Cerita
- Menggambar Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP)
- Menentukan Titik-titik Sudut DHP
- Mencari Nilai Maksimum atau Minimum Fungsi Objektif
Contoh Soal 5 (Program Linear):
Seorang pengrajin ingin membuat dua jenis kerajinan tangan, yaitu gantungan kunci dan bingkai foto. Untuk membuat satu gantungan kunci, dibutuhkan 2 jam kerja dan biaya bahan Rp 5.000. Untuk membuat satu bingkai foto, dibutuhkan 3 jam kerja dan biaya bahan Rp 8.000. Pengrajin tersebut memiliki waktu kerja maksimal 120 jam dan anggaran bahan maksimal Rp 320.000. Jika keuntungan dari setiap gantungan kunci adalah Rp 10.000 dan dari setiap bingkai foto adalah Rp 15.000, tentukan jumlah masing-masing kerajinan yang harus dibuat agar diperoleh keuntungan maksimal.
Pembahasan:
Langkah 1: Menyusun Model Matematika
Misalkan:
$x$ = jumlah gantungan kunci yang dibuat
$y$ = jumlah bingkai foto yang dibuat
Kendala waktu kerja: $2x + 3y le 120$
Kendala biaya bahan: $5000x + 8000y le 320000$ (disederhanakan menjadi $5x + 8y le 320$)
Kendala non-negatif: $x ge 0$, $y ge 0$
Fungsi objektif (keuntungan yang ingin dimaksimalkan):
$Z = 10000x + 15000y$ (atau disederhanakan menjadi $Z = 10x + 15y$)
Langkah 2: Menggambar Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP)
Kita tentukan titik potong dari masing-masing garis kendala:
-
Garis $2x + 3y = 120$:
Jika $x=0$, maka $3y = 120 implies y = 40$. Titik (0, 40).
Jika $y=0$, maka $2x = 120 implies x = 60$. Titik (60, 0). -
Garis $5x + 8y = 320$:
Jika $x=0$, maka $8y = 320 implies y = 40$. Titik (0, 40).
Jika $y=0$, maka $5x = 320 implies x = 64$. Titik (64, 0).
Perhatikan bahwa kedua garis berpotongan di (0, 40).
Kita juga perlu mencari titik potong antara $2x + 3y = 120$ dan $5x + 8y = 320$.
Dari $2x + 3y = 120 implies 2x = 120 – 3y implies x = 60 – frac32y$.
Substitusikan ke persamaan kedua:
$5(60 – frac32y) + 8y = 320$
$300 – frac152y + 8y = 320$
$8y – frac152y = 320 – 300$
$frac16y – 15y2 = 20$
$fracy2 = 20 implies y = 40$.
Jika $y=40$, maka $x = 60 – frac32(40) = 60 – 60 = 0$.
Titik potong kedua garis adalah (0, 40).
Titik-titik sudut DHP adalah:
A = (0, 0)
B = (60, 0) (titik potong $2x+3y=120$ dengan sumbu x, perlu dicek apakah memenuhi $5x+8y le 320$: $5(60)+8(0)=300 le 320$, jadi titik ini valid)
C = (0, 40) (titik potong kedua garis dan juga dengan sumbu y)
Note: Titik (64, 0) dari garis $5x+8y=320$ tidak perlu dimasukkan karena titik (60,0) sudah memenuhi kendala $5x+8y le 320$ dan berada di dalam DHP.
Langkah 3: Menentukan Nilai Maksimum Fungsi Objektif
Kita substitusikan koordinat titik-titik sudut ke dalam fungsi objektif $Z = 10000x + 15000y$.
- Titik A (0, 0): $Z = 10000(0) + 15000(0) = 0$
- Titik B (60, 0): $Z = 10000(60) + 15000(0) = 600000$
- Titik C (0, 40): $Z = 10000(0) + 15000(40) = 600000$
Ternyata, nilai maksimum keuntungan diperoleh pada dua titik sudut, yaitu (60, 0) dan (0, 40). Ini berarti ada banyak kombinasi optimal. Namun, dalam konteks soal ini, seringkali ada satu solusi yang "lebih baik" atau kita perlu memeriksa apakah ada titik lain pada segmen garis yang menghubungkan kedua titik tersebut yang memberikan keuntungan yang sama.
Mari kita periksa kembali kendala dan titik-titik sudut DHP.
Kendala:
- $2x + 3y le 120$
- $5x + 8y le 320$
- $x ge 0, y ge 0$
Garis 1: (0,40), (60,0)
Garis 2: (0,40), (64,0)
Titik potong: (0,40)
Titik sudut DHP yang mungkin adalah (0,0), (60,0), (0,40).
Mari kita uji titik (60,0) pada kendala 2: $5(60) + 8(0) = 300 le 320$. Valid.
Mari kita uji titik (0,40) pada kendala 1: $2(0) + 3(40) = 120 le 120$. Valid.
Fungsi Objektif: $Z = 10000x + 15000y$
Titik (0,0): Z = 0
Titik (60,0): Z = 10000(60) + 15000(0) = 600.000
Titik (0,40): Z = 10000(0) + 15000(40) = 600.000
Dalam kasus ini, keuntungan maksimal adalah Rp 600.000. Keuntungan ini bisa dicapai dengan membuat 60 gantungan kunci dan 0 bingkai foto, ATAU membuat 0 gantungan kunci dan 40 bingkai foto.
Jawaban: Keuntungan maksimal adalah Rp 600.000. Ini dapat dicapai dengan memproduksi 60 gantungan kunci dan 0 bingkai foto, ATAU 0 gantungan kunci dan 40 bingkai foto.
>
4. Statistika dan Peluang: Memahami Data dan Ketidakpastian
Statistika di semester ini biasanya mencakup ukuran pemusatan dan penyebaran data, serta representasi data dalam bentuk diagram. Peluang akan lebih mendalami konsep peluang kejadian majemuk dan saling bebas/lepas.
Topik Kunci:
- Ukuran Pemusatan (Mean, Median, Modus) untuk Data Tunggal dan Berkelompok
- Ukuran Penyebaran (Jangkauan, Kuartil, Simpangan Baku)
- Peluang Kejadian Majemuk (Kejadian Saling Bebas, Saling Lepas, Bersyarat)
- Frekuensi Harapan
Contoh Soal 6 (Statistika – Mean, Median, Modus):
Diberikan data nilai ulangan matematika 10 siswa: 7, 5, 8, 6, 7, 9, 5, 7, 8, 6.
Tentukan mean, median, dan modus dari data tersebut.
Pembahasan:
-
Mean (Rata-rata):
Jumlahkan semua nilai, lalu bagi dengan banyaknya data.
Jumlah nilai = $7+5+8+6+7+9+5+7+8+6 = 68$
Banyaknya data ($n$) = 10
Mean = $fractextJumlah nilaitextBanyaknya data = frac6810 = 6.8$ -
Median (Nilai Tengah):
Urutkan data terlebih dahulu dari yang terkecil hingga terbesar:
5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9
Karena banyaknya data genap (10), median adalah rata-rata dari dua nilai tengah.
Dua nilai tengah adalah data ke-5 dan data ke-6, yaitu 7 dan 7.
Median = $frac7+72 = 7$ -
Modus (Nilai yang Paling Sering Muncul):
Hitung frekuensi kemunculan setiap nilai:
Nilai 5: muncul 2 kali
Nilai 6: muncul 2 kali
Nilai 7: muncul 3 kali
Nilai 8: muncul 2 kali
Nilai 9: muncul 1 kali
Nilai yang paling sering muncul adalah 7 (muncul 3 kali).
Modus = 7
Contoh Soal 7 (Peluang Kejadian Majemuk):
Dalam sebuah kantong terdapat 5 bola merah, 3 bola biru, dan 2 bola hijau. Dua bola diambil satu per satu tanpa pengembalian. Tentukan peluang terambil bola pertama merah dan bola kedua biru.
Pembahasan:
Ini adalah peluang kejadian bersyarat karena pengambilan bola dilakukan tanpa pengembalian, yang mempengaruhi peluang pengambilan bola kedua.
-
Peluang terambil bola pertama merah (P(M1)):
Jumlah bola merah = 5
Jumlah total bola = $5 + 3 + 2 = 10$
$P(M1) = fractextJumlah bola merahtextJumlah total bola = frac510$ -
Peluang terambil bola kedua biru DENGAN syarat bola pertama merah sudah terambil (P(B2|M1)):
Setelah bola merah pertama terambil, sisa bola di kantong adalah $10 – 1 = 9$ bola.
Jumlah bola biru tetap 3.
$P(B2|M1) = fractextJumlah bola birutextJumlah bola sisa = frac39$ -
Peluang terambil bola pertama merah DAN bola kedua biru adalah:
$P(M1 cap B2) = P(M1) times P(B2|M1)$
$P(M1 cap B2) = frac510 times frac39$
$P(M1 cap B2) = frac1590$
$P(M1 cap B2) = frac16$
Jadi, peluang terambil bola pertama merah dan bola kedua biru adalah $frac16$.
>
Penutup
Matematika kelas 2 SMA semester 2 memang menyajikan tantangan yang menarik. Dengan pemahaman konsep yang kuat dan latihan soal yang teratur, Anda pasti bisa menguasai materi-materi ini. Ingatlah bahwa setiap soal memiliki logika penyelesaiannya sendiri. Jangan ragu untuk bertanya kepada guru atau teman jika Anda menemukan kesulitan.
Teruslah berlatih, tetap semangat, dan semoga sukses dalam perjalanan Anda menaklukkan matematika!
>
Artikel ini telah disusun untuk mencakup berbagai topik utama di kelas 2 SMA semester 2 dan memberikan contoh soal yang bervariasi. Perkiraan jumlah kata telah diusahakan mendekati 1.200 kata dengan rincian yang memadai.